Movimento Média Estritamente Estacionário

Assim como o título sugere, este é o meu problema. Vamos Zt ser uma seqüência estritamente estacionária Definir Xt Zt theta Z Mostrar que esta seqüência é também estritamente estacionário. Aqui está o meu problema Minha definição de estritamente estacionário é que temos a distribuição de Zt, Z, pontos, Z é independente de t para todo t em mathbb e todos h em mathbb. Mas como eu vejo que temos Xt, X, pontos, X Zt theta Z, pontos, Z theta Z que seria independente de t - 1 por como Zt é suposto ser Como podemos mudar isso para a independência de t. asked 12 de fevereiro 13 em 17 34. Eu não acho que isso é um problema real independência de t-1 é o mesmo que a independência de t e você vê-lo Claramente por escrito mais explicitamente para h 1 você simplesmente obter Zt theta Z sim Z theta Zt quad forall t em mathbb Z que é o mesmo forall t-1 em mathbb Z Não se confunda por dependência das variáveis, stationarity é sobre a sua Distribuição de fato uma série constante tem variáveis ​​dependentes cuja distribuição é independente de t. Or eu mal entendi seu que Uma série de tempo é uma função aleatória xt de um argumento t em um conjunto T Em outras palavras, uma série de tempo é uma família de variáveis ​​aleatórias x t-1 xtxt 1 correspondente a todos os elementos No conjunto T, onde T é suposto ser um conjunto infinito e quantificável. Definição Uma série temporal observada tte T o T é considerada como parte de uma realização de uma função aleatória xt Um conjunto infinito de realizações possíveis que poderiam ter sido observadas É chamada de conjunto. Para colocar as coisas mais rigorosamente, a série de tempo ou função aleatória é uma função real xw, t das duas variáveis ​​w e t, onde wW e t T Se fixamos o valor de w temos uma função real xtw Do tempo t, que é uma realização da série de tempo Se fixarmos o valor de t, então temos uma variável aleatória xwt Para um dado ponto no tempo existe uma distribuição de probabilidade sobre x Assim uma função aleatória xw, t pode ser Considerada uma família de variáveis ​​aleatórias ou uma família de Definimos a função de distribuição da variável aleatória w dado t 0 como P oxx Da mesma forma podemos definir a distribuição conjunta para n variáveis ​​aleatórias. Os pontos que distinguem a análise de séries temporais de análises estatísticas ordinárias são os seguintes: 1 A dependência entre as observações Em diferentes pontos cronológicos no tempo desempenha um papel essencial Em outras palavras, a ordem das observações é importante Na análise estatística ordinária assume-se que as observações são mutuamente independentes 2 O domínio de t é infinito 3 Temos de fazer uma inferência a partir de uma realização A realização da variável aleatória pode ser observada apenas uma vez em cada ponto no tempo. Na análise multivariada temos muitas observações sobre um número finito de variáveis. Esta diferença crítica requer a hipótese de estacionariedade. Definição A função aleatória xt é dita estritamente estacionária se Todas as funções finitas de distribuição dimensional definindo xt permanecem as mesmas Mesmo se todo o grupo de pontos t 1 t 2 tn é deslocado ao longo do eixo do tempo. Isto é, se para quaisquer inteiros t 1 t 2 tn e k Gráficamente, pode-se imaginar a realização de uma série estritamente estacionária como tendo não apenas a O mesmo nível em dois intervalos diferentes, mas também a mesma função de distribuição, até os parâmetros que a definem. A suposição de estacionaridade torna nossas vidas mais simples e menos dispendiosas. Sem estacionaridade, teríamos que amostrar o processo freqüentemente em cada ponto de tempo para Construir uma caracterização das funções de distribuição na definição anterior Estacionaridade significa que podemos limitar a nossa atenção a algumas das funções numéricas mais simples, ou seja, os momentos das distribuições Os momentos centrais são dadas por Definição i O valor médio da série temporal T é ie o primeiro momento de ordem ii A função de autocovariância de t é o segundo momento sobre a média Se ts então você tem a variância de xt Vamos usar para denotar o aut Ocovariância de uma série estacionária, onde k denota a diferença entre t e s iii A função de autocorrelação ACF de t é. Usaremos para denotar a autocorrelação de uma série estacionária, em que k denota a diferença entre t e s iv A autocorrelação parcial PACF F kk é a correlação entre zt e ztk após a remoção de sua dependência linear mútua das variáveis ​​intervenientes zt 1 zt 2 zt k-1 Uma maneira simples de calcular a autocorrelação parcial entre zt e ztk é executar as duas regressões. Em seguida, calcular a correlação Entre os dois vetores residuais Ou, depois de medir as variáveis ​​como desvios de seus meios, a autocorrelação parcial pode ser encontrada como o coeficiente de regressão LS no zt no modelo. Quando o ponto sobre a variável indica que é medido como um desvio de sua Média v As equações de Yule-Walker fornecem uma relação importante entre as autocorrelações parciais e as autocorrelações Multiplique ambos os lados da equação 10 por z T kj e ter expectativas Esta operação nos dá a seguinte equação de diferença nas autocovariâncias. Ou, em termos das autocorrelações. Esta representação aparentemente simples é realmente um resultado poderoso. Para j 1,2 k podemos escrever o sistema completo de equações , Conhecida como as equações de Yule-Walker. A partir da álgebra linear, você sabe que a matriz de rs é de grau completo. Portanto, é possível aplicar a regra de Cramer sucessivamente para k 1,2 para resolver o sistema para as autocorrelações parciais. Nós temos três resultados importantes em séries estritamente estacionárias. A implicação é que podemos usar qualquer realização finita da seqüência para estimar a média Se t é estritamente estacionária e E t 2 então. A implicação é que a autocovariância depende apenas da diferença Entre t e s, não o seu ponto cronológico no tempo Poderíamos usar qualquer par de intervalos na computação da autocovariância, enquanto o tempo entre eles fosse constante E podemos usar qualquer Realização finita dos dados para estimar as autocovariâncias Em terceiro lugar, a função de autocorrelação no caso de estacionariedade estrita é dada por. A implicação é que a autocorrelação depende apenas da diferença entre t e s, bem como, e eles podem ser estimados por qualquer Finita dos dados. Se nosso objetivo é estimar os parâmetros que são descritivos das realizações possíveis da série de tempo, então talvez a estacionariedade estrita é demasiado restritiva Por exemplo, se a média e covariances de xt são constantes e independentes do ponto cronológico No tempo, então talvez não seja importante para nós que a função de distribuição seja a mesma para diferentes intervalos de tempo. Definição Uma função aleatória é estacionária no sentido amplo ou fracamente estacionária, ou estacionária no sentido de Khinchin, ou covariância estacionária se m 1 Tm e m 11 t, a estacionaridade restrita não implica, por si só, uma estacionaridade fraca A estacionaridade fraca não implica uma estacionariedade estrita Estação estrita Aridade com E t 2 implica fraca estacionariedade. Os teoremas ergódicos preocupam-se com a questão das condições necessárias e suficientes para inferir a partir de uma única realização de uma série de tempo. Bàsicamente, resume-se a assumir fraca estacionaridade. Teorema Se t é fracamente estacionário com média M e função de covariância, então. Isto é, para qualquer dado e 0 e h 0 existe algum número T o tal que para todo TT o se e somente se. Esta condição necessária e suficiente é que as autocovariâncias desaparecem, caso em que A média da amostra é um estimador consistente para a média populacional. Correlário Se t é fracamente estacionário com E tkxt 2 para qualquer t, e E tkxtxtskxts é independente de t para qualquer inteiro s, then. if e somente se where. A consequência da Corolário é a suposição de que xtxtk é fracamente estacionário. O Teorema Ergódico não é mais do que uma lei de grande número quando as observações são correlacionadas. Pode-se perguntar neste momento sobre as implicações práticas de statio A aplicação mais comum das técnicas de séries temporais é a modelagem de dados macroeconômicos, tanto teóricos como ateóricos. Como exemplo do primeiro, pode-se ter um modelo multiplicador-acelerador Para que o modelo seja estacionário, os parâmetros devem ter certos valores A Teste do modelo é, então, para coletar os dados relevantes e estimar os parâmetros Se as estimativas não são consistentes com stationarity, então deve-se repensar o modelo teórico ou o modelo statisticla, ou both. We agora têm máquinas suficientes para começar a falar sobre A modelagem de dados de séries temporais univariadas Existem quatro etapas no processo 1 construindo modelos a partir de conhecimento teórico ou experiencial 2 identificando modelos baseados nos dados observados série 3 ajustando os modelos estimando os parâmetros do modelo s 4 verificando o modelo Se no Quarto passo não estamos satisfeitos, voltamos para o primeiro passo. O processo é iterativo até que novas verificações e respecificações não melhorem O operador de diferença 1 - B xtxt - x t-1 O operador de diferença se comporta de uma forma consistente com a constante em Uma série infinita Ou seja, seu inverso é o limite de uma soma infinita Nomeadamente, -1 1-B -1 1 1-B 1 BB 2 O operador de integração S-1 Como é o inverso do operador de diferença, o operador de integração Serve para construir a soma. CONSTRUÇÃO DE MÓDULOS Nesta seção, oferecemos uma breve revisão dos modelos de séries temporais mais comuns. Com base no conhecimento do processo de geração de dados, escolhemos uma classe de modelos para identificação e estimativa a partir das possibilidades Que segue. Definição Suponha que Ex tm é independente de t Um modelo como. com as características é chamado o modelo autorregressivo de ordem p, AR p. Definição Se um tempo dependente da variável processo estocástico t satisfaz então t É dito satisfazer a propriedade de Markov Na LHS a expectativa é condicionada à história infinita de xt No RHS é condicionada em apenas parte da história A partir das definições, um modelo AR p é visto para satisfazer a propriedade de Markov Usando o backshift Operador podemos escrever o nosso modelo AR como. O teorema Uma condição necessária e suficiente para o modelo AR p ser estacionário é que todas as raízes do polinômio estão fora do círculo unitário. Exemplo 1 Considere o AR 1 A única raiz de 1 - f 1 B 0 é B 1 f 1 A condição para a estacionariedade requer que. Se então a série observada aparecerá muito frenética E g considere. Em que o termo de ruído branco tem uma distribuição normal com uma média zero e uma variância de um Observações mudar de sinal com quase todas as observações. Se, por outro lado, então a série observada será muito mais suave. Nesta série uma observação tende a ser superior a 0 se o seu antecessor foi acima de zero A variância de et é se 2 para todos os t A variância de x Quando a série é estacionária, podemos escrever Hence. A função de autocovariância de uma série AR 1 é, supondo sem perda de generalidade m 0. Para ver o que isto parece em termos dos parâmetros AR Usaremos o fato de que podemos escrever xt da seguinte maneira. Multiplicando por x tk e tomando expectativas. Note que as autocovariâncias morrem como k cresce A função de autocorrelação é a autocovariância dividida pela variância do termo de ruído branco Ou, Usando As fórmulas anteriores de Yule-Walker para as autocorrelações parciais que temos. Para um AR 1, as autocorrelações morrem exponencialmente e as autocorrelações parciais exibem um pico a um lag e são zero depois disso. Exemplo 2 Considere o AR 2 O polinômio associado no operador lag É. As raízes podem ser encontradas usando a fórmula quadrática As raízes são. Quando as raízes são reais e, como consequência, a série irá declinar exponencialmente em resposta a um choque Quando as raízes são complexas e as s A autocovariância para um processo AR 2, com média zero, é. A divisão por meio da variância de xt dá a função de autocorrelação Uma vez que podemos escrever Da mesma forma para a segunda e terceira autocorrelações. As outras autocorrelações são resolvidas de forma recursiva. Seu padrão é governado pelas raízes da equação de diferença linear de segunda ordem. Se as raízes são reais, então as autocorrelações declinarão exponencialmente. Quando as raízes são complexas, as autocorrelações aparecerão Como uma onda senoidal amortecida Usando as equações de Yule-Walker, as autocorrelações parciais são. Again, as autocorrelações morrem lentamente A autocorrelação parcial, por outro lado, é bastante distinto Tem picos em um e dois lags e é zero a partir daí. Theorem If xt É um processo estacionário AR p então ele pode ser equivalente escrito como um modelo de filtro linear Isso é, o polinômio no backshif T pode ser invertido e o AR p escrito como uma média móvel de ordem infinita. Exemplo Suponha que zt é um processo AR 1 com média zero O que é verdadeiro para o período atual também deve ser verdadeiro para períodos anteriores Assim, por substituição recursiva podemos Write. Square ambos os lados e ter expectativas. O lado direito desaparece como k desde f 1 Portanto, a soma converge para zt em média quadrática Nós podemos reescrever o modelo AR p como um filtro linear que nós sabemos ser estacionário. A Função de Autocorrelação e Autocorrelação Parcial Geralmente Suponha que uma série estacionária zt com média zero seja conhecida como auto-regressiva A função de autocorrelação de um AR p é encontrada ao tomar expectativas de e dividir pela variância de z t. Isso nos diz que rk é uma combinação linear Das autocorrelações anteriores Podemos usar isso na aplicação da regra de Cramer a i na resolução de f kk Em particular, podemos ver que essa dependência linear fará k k 0 para kp Essa característica distintiva De série autorregressiva será muito útil quando se trata de identificação de uma série desconhecida. Se você tiver MathCAD ou MathCAD Explorer, então você pode experimentar interactivley com algumas das idéias AR p aqui apresentadas. Modelos Moving Média Considere um modelo dinâmico em que o Série de interesse depende apenas de alguma parte da história do termo ruído branco Diagramaticamente isso pode ser representado como. Definição Suponha que é uma seqüência não correlacionada de variáveis ​​aleatórias iid com média zero e variância finita Então, um processo de média móvel de ordem q MA Q, é dado pelo teorema Um processo de média móvel é sempre estático Proof Ao invés de começar com uma prova geral vamos fazê-lo para um caso específico Suponha que zt é MA 1 Então, Claro, em tem média zero e variância finita A média de Zt é sempre zero As autocovariâncias serão dadas por. Você pode ver que a média da variável aleatória não depende do tempo de qualquer maneira Você também pode ver que a autocovariância depende S somente no deslocamento s, não sobre onde na série nós começamos Podemos provar o mesmo resultado mais geralmente começando com, que tem a representação da média móvel alternativa Considere primeiramente a variância de z t. Por substituição recursiva você pode mostrar que este É igual a. A soma que sabemos ser uma série convergente, então a variância é finita e é independente do tempo. As covariâncias são, por exemplo. Você também pode ver que as covariâncias automáticas dependem apenas dos pontos relativos no tempo, não da cronológica Ponto no tempo Nossa conclusão de tudo isso é que um processo de MA é estacionário Para o processo MA q geral a função de autocorrelação é dada por. A função de autocorrelação parcial irá morrer suavemente Você pode ver isso, invertendo o processo para obter um processo AR. Se você tiver MathCAD ou MathCAD Explorer, então você pode experimentar interativamente com algumas das idéias MA q apresentadas aqui. Mixed Autoregressive - Moving Average Models. Definition Suponha que é um seq uncorrelated Uence de variáveis ​​aleatórias de iid com média zero e variância finita Então um processo de média móvel autorregressivo de ordem p, q, ARMA p, q, é dado por. As raízes do operador autorregressivo devem estar todas fora do círculo unitário. O número de incógnitas É pq 2 O p e q são óbvios O 2 inclui o nível do processo, m ea variância do termo de ruído branco, sa 2.Suponha que combinamos nossas representações AR e MA para que o modelo seja. e os coeficientes sejam Normalizada de modo que bo 1 Então esta representação é chamada ARMA p, q se as raízes de 1 estão todas fora da unidade de círculo Suponha que os yt são medidos como desvios da média para que possamos cair ao então a função de autocovariância é derivado de. Se jq, em seguida, os termos MA deixar de lado na expectativa de dar. Isto é, a função de autocovariância parece um AR típico para atrasos após q eles morrem suavemente após q, mas não podemos dizer como 1,2,, q vai olhar Nós podemos Também examinar o PACF para esta classe de modelo O modelo ca N ser escrito como. Nós podemos escrever isso como um processo de MA inf. which sugere que o PACF s morrer lentamente Com alguma aritmética, poderíamos mostrar que isso só acontece após os p p primeiros contribuíram pela parte AR. Lei Espectral Na realidade, Uma série temporal estacionária pode bem ser representada por p 2 e q 2 Se o seu negócio é fornecer uma boa aproximação à realidade e bondade de ajuste é o seu critério, em seguida, um modelo pródigo é preferido Se o seu interesse é a eficiência preditiva, em seguida, o modelo parcimonioso é preferido. Experiment com as idéias ARMA apresentadas acima com uma planilha MathCAD. Autoregressive Integre Moving Average Modelos. MA filtro AR filtro Integrar filter. Sometimes o processo, ou série, estamos tentando modelo não está parado em níveis Mas pode ser parado em, Digamos, as primeiras diferenças Ou seja, em sua forma original as autocovariâncias para a série podem não ser independentes do ponto cronológico no tempo No entanto, se construímos uma nova série que é a primeira Diferenças da série original, esta nova série satisfaz a definição de estacionariedade. Isto é freqüentemente o caso com dados econômicos que são altamente trended. Definition Suponha que zt não é estacionário, mas zt - z t-1 satisfaz a definição de stationarity Também, em , O termo de ruído branco tem média finita e variância. Podemos escrever o modelo como. Isto é chamado ARIMA p, d, q o modelo p identifica a ordem do operador AR, d identifica a potência em q identifica a ordem do operador MA Se as raízes de f B estiverem fora do círculo unitário, então podemos reescrever o ARIMA p, d, q como um filtro linear Ie ele pode ser escrito como um MA Nós reservamos a discussão da detecção de raízes unitárias para outra parte do Notas de conferência. Considere um sistema dinâmico com xt como uma série de entrada e yt como uma série de saída Diagramaticamente temos. Esses modelos são uma analogia discreta de equações diferenciais lineares Suponhamos a seguinte relação. Onde b indica um atraso puro Recorde que 1-B Fazendo este sub O modelo pode ser escrito. Se o coeficiente polinomial em yt pode ser invertido, então o modelo pode ser escrito como. VB é conhecido como a função de resposta ao impulso Vamos encontrar essa terminologia novamente em nossa discussão posterior de cointegração autorregressiva de vetor e correção de erro Modelos. IDENTIFICAÇÃO DO MÓDULO Tendo decidido sobre uma classe de modelos, é preciso agora identificar a ordem dos processos que geram os dados. Ou seja, é preciso fazer melhores suposições quanto à ordem dos processos AR e MA dirigindo a série estacionária A série estacionária é Completamente caracterizada pela sua média e autocovariâncias Por razões analíticas, usualmente trabalhamos com as autocorrelações e autocorrelações parciais Essas duas ferramentas básicas têm padrões exclusivos para os processos AR e MA estacionários Podemos calcular estimativas de amostra das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial e compará-las com resultados tabulados Para modelos padrão. Função de Autocovariância de Amostra. Diversão de Autocorrelação de Amostras As autocorrelações parciais da amostra serão. Usando as autocorrelações e as autocorrelações parciais é bastante simples em princípio Suponha que temos uma série zt com média zero, que é AR 1 Se fôssemos executar a regressão de zt 2 sobre zt 1 e zt Seria de esperar que o coeficiente de zt não fosse diferente de zero, uma vez que essa autocorrelação parcial deveria ser zero. Por outro lado, as autocorrelações para esta série deveriam estar decrescendo exponencialmente para defasagens crescentes, veja o exemplo AR 1 acima. Série é realmente uma média móvel A autocorrelação deve ser zero em todos os lugares, mas no primeiro lag A autocorrelação parcial deve morrer exponencialmente Mesmo a partir do nosso romp muito superficial através do básico de análise de séries temporais é aparente que há uma dualidade entre AR e MA Esta dualidade pode ser resumida na tabela a seguir. Soluções estritamente estacionárias de equações de média móvel autorregressiva. Necessárias e suficientes São determinadas as condições para a existência de uma solução estritamente estacionária das equações que definem um processo de média móvel autorregressivo conduzido por uma sequência de ruído independente e identicamente distribuída. Não há pressupostos de momento sobre a sequência de ruído de condução Copyright 2010, Oxford University Press. Download de um arquivo, verifique se você tem o aplicativo adequado para visualizá-lo primeiro Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS Por favor, seja paciente como os arquivos podem ser grandes. Como o acesso a este Documento é restrito, você pode querer olhar para uma versão diferente em Pesquisa relacionada mais abaixo ou procurar uma versão diferente do it. Article provided by Biometrika Trust em sua revista Biometrika. Volume Ano 97 2010 Issue Month 3 Páginas 765-772.When Solicitando uma correção, mencione, por favor, este item s identificador RePEc oup biomet v 97 y 2010 i 3 p 765-772 Consulte informações gerais sobre como corrigir mate Rial em RePEc. Para questões técnicas sobre este item, ou para corrigir os seus autores, título, resumo, informações bibliográficas ou de download, entre em contato com Oxford University Press. ou Christopher F Baum. Se você tiver criado esse item e ainda não está registrado no RePEc, Nós o incentivamos a fazê-lo aqui Isto permite ligar seu perfil a este artigo Igualmente permite que você aceite citações em potencial a este artigo que nós somos incertos about. If as referências estão faltando inteiramente, você pode adicioná-las usando este formulário. Referências lista um item que está presente no RePEc, mas o sistema não link para ele, você pode ajudar com este formulário. 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